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极值存在的第二充分条件是当一阶导数等于0，而二阶导数大于0时，为极小值点。当一阶导数等于0，而二阶导数小于0时，为极大值点。
具体证明过程如下。
证明：
因为对于函数y=f(x)。
设f(x)一阶可导，且y'=f'(x)，二阶可导，且y''=f''(x)。且当x=x0时，f'(x0)=0。
那么当f''(x0)＞0时，
而f''(x0)=lim(x→x0?)（f'(x)-f'(x0)）/(x-x0)=f''(x0)=lim(x→x0?)（f'(x)-f'(x0)）/(x-x0)＞0。
当x→x0?时，x-x0＜0，那么f'(x)-f'(x0)＜0，即f'(x)＜0。
当x→x0?时，x-x0＞0，那么f'(x)-f'(x0)＞0，即f'(x)＞0。
那么可得x＞x0时，f'(x)＜0，则函数f(x)为减函数，x＜x0时，f'(x)＞0，则函数f(x)为增函数，所以可得f(x)在x=x0处取得极小值。
同理可证明函数y=f(x)，当x=x0时，f'(x0)=0，f''(x0)＜0时，f(x)在x=x0处取得极大值。
扩展资料：
1、二阶导数的性质
（1）判断函数极大值以及极小值。
结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于0，而二阶导数大于0时，为极小值点。当一阶导数等于0，而二阶导数小于0时，为极大值点；当一阶导数和二阶导数都等于0时，为驻点。
（2）函数凹凸性。
设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b)内具有一阶和二阶导数，那么，
若在（a,b)内f''(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的。
若在（a,b)内f’‘(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。
2、二阶导数的几何意义
如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。
百度百科-二阶导数
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